Paprastosios palūkanos skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos. Sudėtinės palūkanos skaičiuojamos nuo pradinės sumos ir anksčiau sukauptų palūkanų, todėl jos dar vadinamos palūkanomis nuo palūkanų. Procentai formulėse rašomi dešimtaine forma: pavyzdžiui, 5 % = 0,05, 10 % = 0,10, 2,5 % = 0,025.
Paprastųjų ir sudėtinių palūkanų formulės
Palūkanos pagal apskaičiavimo būdą gali būti paprastosios ir sudėtinės. Skaičiuojant svarbiausia aiškiai atskirti, ar palūkanos skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos, ar nuo vis didėjančios sukauptos sumos.
Paprastosios palūkanos:
I = P × r × t
A = P × (1 + r × t)
Sudėtinės palūkanos, kai palūkanos kapitalizuojamos kartą per metus:
A = P × (1 + r)^t
Sudėtinės palūkanos, kai palūkanos kapitalizuojamos kelis kartus per metus:
A = P × (1 + r / m)^(m × t)
Formulėse naudojami kintamieji:
- P – pradinė suma;
- r – metinė palūkanų norma dešimtaine forma;
- t – laikotarpis metais;
- m – kapitalizavimo kartų per metus skaičius;
- I – palūkanų suma;
- A – galutinė sukaupta suma.
Paprastosios palūkanos: kaip skaičiuoti?
Paprastosios palūkanos kiekvieną laikotarpį skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos. Tai reiškia, kad palūkanų suma kasmet didėja vienodu dydžiu, jei palūkanų norma ir laikotarpis nesikeičia. Tokia formulė dažnai naudojama mokykliniuose uždaviniuose arba situacijose, kur sąlygoje aiškiai pasakyta, kad taikomos paprastos palūkanos.
Skaičiavimo pavyzdys:
P = 1000 €
r = 5 % = 0,05
t = 3 metai
I = 1000 × 0,05 × 3 = 150 €
A = 1000 + 150 = 1150 €
Pirmiausia procentai paverčiami dešimtaine forma: 5 % tampa 0,05. Tada pradinė suma dauginama iš palūkanų normos ir laikotarpio metais. Gautas rezultatas, 150 €, yra tik palūkanų suma. Norint rasti galutinę sumą, prie pradinės sumos pridedamos uždirbtos palūkanos: 1000 € + 150 € = 1150 €.
Sudėtinės palūkanos: kaip skaičiuoti?
Sudėtinės palūkanos reiškia, kad palūkanos pridedamos prie sukauptos sumos, o kitą laikotarpį naujos palūkanos skaičiuojamos jau nuo didesnės sumos. Dėl to jos dažnai vadinamos „palūkanomis nuo palūkanų“. Kai reinvestuojamos palūkanos lieka sąskaitoje ar skaičiavime, galutinė suma auga greičiau nei taikant paprastąsias palūkanas.
Naudojame tą patį pavyzdį:
P = 1000 €
r = 5 % = 0,05
t = 3 metai
A = 1000 × (1 + 0,05)^3
A = 1157,63 €
Palūkanų suma:
1157,63 − 1000 = 157,63 €
Rezultatas didesnis nei paprastųjų palūkanų atveju, nes antrais ir trečiais metais palūkanos skaičiuojamos ne tik nuo 1000 €, bet ir nuo jau sukauptų palūkanų. Būtent taip veikia sudėtiniai procentai: kuo ilgesnis laikotarpis ir kuo dažnesnė kapitalizacija, tuo labiau didėja skirtumas.
Paprastųjų ir sudėtinių palūkanų palyginimas
| Skaičiavimo būdas | Formulė | Galutinė suma po 3 metų | Uždirbtos palūkanos |
|---|---|---|---|
| Paprastosios palūkanos | 1000 × (1 + 0,05 × 3) | 1150,00 € | 150,00 € |
| Sudėtinės palūkanos | 1000 × (1 + 0,05)^3 | 1157,63 € | 157,63 € |
Šiame pavyzdyje skirtumas po 3 metų yra 7,63 €. Trumpu laikotarpiu jis nėra didelis, tačiau ilgėjant terminui arba dažniau kapitalizuojant palūkanas skirtumas didėja. Pavyzdžiui, jei palūkanos kapitalizuojamos ne kartą per metus, o kas mėnesį, formulėje reikia naudoti kapitalizavimo dažnį m.
Skirtingų normų, laikotarpių ir kapitalizavimo dažnių rezultatus galima praktiškai pasitikrinti palūkanų skaičiuoklėje, pasirenkant paprastąsias arba sudėtines palūkanas.
Lietuvos bankas taip pat pateikia interaktyvų sudėtinių ir paprastųjų palūkanų palyginimą, leidžiantį pamatyti, kaip rezultatas keičiasi ilgėjant laikotarpiui.
Kaip pasirinkti tinkamą formulę
- Jei sąlygoje sakoma, kad palūkanos skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos, naudok paprastųjų palūkanų formulę.
- Jei palūkanos pridedamos prie sumos ir kitą laikotarpį skaičiuojamos nuo padidėjusios sumos, naudok sudėtinių palūkanų formulę.
- Jei kapitalizuojama kas mėnesį, m = 12.
- Jei kapitalizuojama kas ketvirtį arba kas 3 mėnesius, m = 4.
- Jei laikotarpis trumpesnis nei metai, paversk jį metų dalimi, pvz., 6 mėn. = 0,5 metų, 3 mėn. = 3/12 metų.
Renkantis formulę svarbu skaityti ne tik palūkanų normą, bet ir tai, kaip aprašytas palūkanų skaičiavimo būdas. Vien ta pati metinė norma gali duoti skirtingą rezultatą, jei vienu atveju taikomos paprastosios palūkanos, o kitu – sudėtinės palūkanos su mėnesine kapitalizacija.
Dažniausia painiava skaičiuojant: procentai, mėnesiai ir kapitalizavimas
Viena dažniausių klaidų – procentus įrašyti tiesiog kaip skaičių 5, nors formulėje turi būti naudojama dešimtainė forma. Jei palūkanų norma yra 5 %, formulėje rašoma 0,05. Jei norma yra 12 %, rašoma 0,12. Jei norma yra 1,5 %, rašoma 0,015.
Kita painiava atsiranda dėl laiko. Metinė norma turi būti derinama su laikotarpiu metais. Jei uždavinys pateiktas mėnesiais, mėnesius reikia paversti metų dalimi. Pavyzdžiui, 6 mėnesiai yra 0,5 metų, o 9 mėnesiai yra 9/12, arba 0,75 metų.
Kapitalizavimo dažnis taip pat keičia skaičiavimą. Kapitalizacija kas 3 mėnesius reiškia, kad palūkanos pridedamos prie sumos 4 kartus per metus, todėl formulėje m = 4. Kapitalizacija kas mėnesį reiškia m = 12. Kuo dažniau kapitalizuojamos palūkanos, tuo dažniau jos pridedamos prie sukauptos sumos.
Dar svarbu nepainioti galutinės sumos A ir palūkanų sumos I. Galutinė suma parodo, kiek turima laikotarpio pabaigoje iš viso. Palūkanų suma parodo tik prieaugį, t. y. kiek uždirbta arba priskaičiuota virš pradinės sumos.
Kuo skiriasi palūkanų suma ir galutinė sukaupta suma
A – tai visa suma laikotarpio pabaigoje. Ji apima pradinę sumą ir palūkanas. I – tai tik palūkanų suma, be pradinės sumos. Šis skirtumas svarbus, nes uždaviniuose kartais prašoma rasti ne galutinę sumą, o tik uždirbtas arba priskaičiuotas palūkanas.
Ryšys tarp šių dydžių paprastas:
I = A − P
Jei pradinė suma yra 1000 €, o galutinė suma 1157,63 €, palūkanų suma yra:
1157,63 − 1000 = 157,63 €
Tai reiškia, kad 1157,63 € yra visa sukaupta suma, o 157,63 € – tik palūkanos.
Kada šios formulės taikomos praktikoje
Paprastųjų ir sudėtinių palūkanų formulės dažnai taikomos mokykliniuose ir finansų matematikos uždaviniuose, indėlių skaičiavimuose, trumpalaikių paskolų pavyzdžiuose ir investicijų grąžos iliustravime. Jos padeda suprasti, kaip palūkanų norma, pradinė suma, laikotarpis metais ir kapitalizavimo dažnis keičia galutinį rezultatą.
Praktikoje realūs finansiniai produktai gali turėti papildomų mokesčių, sutarties sąlygų, įmokų grafikų ar mokestinių pasekmių. Vertinant vartojimo paskolą svarbu tikrinti ne tik metinę palūkanų normą, bet ir BVKKMN, kuri parodo bendrą kredito kainą metine procentine išraiška ir apima privalomus su kreditu susijusius mokesčius. Todėl paprasta palūkanų formulė ne visada parodo galutinę realią paskolos kainą ar tikrąją investicijos grąžą, tačiau padeda suprasti pagrindinį skaičiavimo principą.
Jei reikia apskaičiuoti ne vien palūkanų prieaugį, o preliminarią mėnesio įmoką, bendrą grąžintiną sumą ir papildomų mokesčių poveikį, tam tinkamesnė yra vartojimo paskolos skaičiuoklė.
Kaip pasitikrinti, ar rezultatas logiškas
Paprastosios palūkanos didėja vienodu dydžiu, nes kiekvieną laikotarpį skaičiuojamos nuo tos pačios pradinės sumos. Jei 1000 € sumai taikoma 5 % metinė norma, paprastųjų palūkanų atveju kasmet prisideda po 50 €.
Sudėtinės palūkanos po pirmo laikotarpio pradeda augti greičiau, nes palūkanos skaičiuojamos nuo padidėjusios sukauptos sumos. Trumpais laikotarpiais skirtumas tarp paprastųjų ir sudėtinių palūkanų gali būti mažas, tačiau ilgesniu laikotarpiu arba dažniau kapitalizuojant palūkanas jis didėja.
Jei sudėtinių palūkanų rezultatas gaunamas mažesnis nei paprastųjų palūkanų, kai lyginami vienodi pilnų metų laikotarpiai, naudojama ta pati pradinė suma ir ta pati teigiama metinė norma, verta patikrinti, ar nesupainiota formulė arba neteisingai įrašyti kintamieji. Dažniausiai reikia dar kartą patikrinti, ar 5 % įrašyta kaip 0,05, ar mėnesiai tinkamai suderinti su palūkanų normos laikotarpiu ir ar kapitalizavimo dažnis m pasirinktas pagal sąlygą.
